বাণিজ্য মন্ত্রণালয়ের আমদানি-রপ্তানি অধিদপ্তরের নির্বাহী অফিসার ২০০৭ MCQ প্রশ্ন সমাধান — প্রশ্ন ও সমাধান

ব্যাখ্যা: ভারত ও চীনের সীমানা নির্দেশক লাইন ম্যাকমোহন লাইন। ভারত ও পাকিস্তানের সীমানা নির্দেশক লাইন– লাইন অব কন্ট্রোল ও র‍্যাডক্লিফ লাইন। পাকিস্তান ও আফগানিস্তানের সীমানা নির্দেশক লাইন ডুরান্ড লাইন।

ব্যাখ্যা: যেসব স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556-কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো (346 – 31) বা 315 এবং (556 – 31) বা 525-এর সাধারণ গুণনীয়ক। 31 অপেক্ষা বড় 315-এর গুণনীয়কগুলো হলো 35, 45, 63, 105, 315 এবং 31 অপেক্ষা বড় 525-এর গুণনীয়কগুলো হলো 35, 75, 105, 175, 525। ∴ নির্ণেয় সেট {35, 105}

ব্যাখ্যা: (x + y, 0) = (1, x – y); x + y = 1 ............. (i); x – y = 0 ............. (ii); (i) + (ii) থেকে পাই, 2x = 1 ⇒ x = 1/2; ∴ (i) নং থেকে পাই, y = 1 – x = 1 – 1/2 = 1/2; ∴ নির্ণেয় (x, y) = (1/2, 1/2)

ব্যাখ্যা: ধনাত্মক ধরে, (x + 3) < 5 ⇒ x + 3 – 3 < 5 – 3 ⇒ x < 2; ঋণাত্মক ধরে, – (x + 3) < 5 ⇒ x + 3 > –5 ⇒ x + 3 – 3 > –5 – 3 ⇒ x > –8; ∴ নির্ণেয় সমাধান, S = {x ∈ R : –8 < x < 2}

ব্যাখ্যা: শুধু বাংলায় পাস করে = (94 – 75) = 19 জন; শুধু গণিতে পাস করে = (80 – 75) = 5 জন; উভয় বিষয়ে পাস করে = 75 জন; উভয় বিষয়ে বা যে কোনো এক বিষয়ে মোট পাস করে = (19 + 5 + 75) জন = 99 জন; উভয় বিষয়ে ফেল করে = (100 – 99) জন = 1 জন

ব্যাখ্যা: ৭২ = ১ × ৭২ = ২ × ৩৬ = ৩ × ২৪ = ৪ × ১৮ = ৬ × ১২ = ৮ × ৯ সুতরাং, ৭২ সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা ১২টি। যথা : ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২।

ব্যাখ্যা: ২০ থেকে ১০০-এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা ১৭টি। যথা : ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

ব্যাখ্যা: (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + b³ – 3b²c + 3bc² – c³ + c³ – 3c²a + 3ca² – a³ = 3(ab² – c²a – a²b + ca² – b²c + bc²) = 3{a(b² – c²) – a²(b – c) – bc(b – c)} = 3[(b – c){a(b + c) – a² – bc}] = 3(b – c)(ab + ac – a² – bc) = 3(b – c)(ac – a² – bc + ab) = 3(b – c){a(c – a) – b(c – a)} = 3(b – c)(a – b)(c – a) = 3(a – b)(b – c)(c – a)

ব্যাখ্যা: (√(x–1) + √(x–6)) / (√(x–1) – √(x–6)) = 5 ⇒ (2√(x–1)) / (2√(x–6)) = (5+1)/(5–1) = 6/4 ⇒ √(x–1)/√(x–6) = 3/2 ⇒ (x–1)/(x–6) = 9/4 ⇒ 9x – 54 = 4x – 4 ⇒ 5x = 50 ⇒ x = 50/5 ∴ x = 10

ব্যাখ্যা: দেয়া আছে, প্রথম পদ a = 5; সাধারণ অন্তর, d = 8 – 5 = 3; মনে করি, r-তম পদ = 302; ∴ a + (r – 1)d = 302 ⇒ 5 + (r – 1).3 = 302 ⇒ 5 + 3r – 3 = 302 ⇒ 3r = 302 – 5 + 3 ⇒ r = 300/3 ∴ r = 100; ∴ 100-তম পদ = 302

ব্যাখ্যা: দেয়া আছে, প্রথম পদ, a = 2; সাধারণ অনুপাত, q = 6/2 = 3 > 1 এবং n = 8; প্রথম আটটি পদের সমষ্টি, S₈ = a × (qⁿ – 1)/(q – 1) = 2 × (3⁸ – 1)/(3 – 1) = 3⁸ – 1 = 6561 – 1 = 6560

ব্যাখ্যা: log_x 324 = 4 ⇒ x⁴ = 324 ⇒ x⁴ = 3⁴.2² ⇒ x⁴ = (3√2)⁴ ∴ x = 3√2

ব্যাখ্যা: প্রথম রাশি = x³ – x – 24 = x³ – 3³ + 3 – x = (x – 3)(x² + 3x + 9) – 1(x – 3) = (x – 3)(x² + 3x + 9 – 1) = (x – 3)(x² – 3x + 8); দ্বিতীয় রাশি = x³ – 6x² + 18x – 27 = x³ – 3.x².3 + 3.x.3² – 3³ + 3x² – 9x = (x – 3)³ + 3x(x – 3) = (x – 3){(x – 3)² + 3x} = (x – 3)(x² – 6x + 9 + 3x) = (x – 3)(x² – 3x + 9); ∵ সাধারণ উৎপাদক (x – 3), ∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x – 3)

ব্যাখ্যা: ৩টি আমের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা; ১টি = ১/৩; আবার, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা; ১টি = ১/২; লাভ = (১/২ – ১/৩) টাকা = (৩ – ২)/৬ টাকা = ১/৬ টাকা; ১/৩ টাকায় লাভ হয় = ১/৬ টাকা; ∴ ১ " = (১×৩)/(৬×১); ∴ ১০০ " = (১×৩×১০০)/(৬×১) = ৫০ টাকা = ৫০%

ব্যাখ্যা: কেরোসিন : পেট্রোল = ৭ : ৩; অনুপাতের যোগফল ৭ + ৩ = ১০; কেরোসিন = (৬০ এর ৭/১০) = ৪২ লিটার; পেট্রোল = (৬০ এর ৩/১০) লিটার = ১৮ লিটার; আবার, নতুন মিশ্রণে, কেরোসিন : পেট্রোল = ৩ : ৭; বা, কেরোসিন/পেট্রোল = ৩/৭; বা, ৪২/পেট্রোল = ৩/৭; বা, পেট্রোল = ২৯৪/৩; বা, পেট্রোল = ৯৮; পেট্রোল মিশাতে হবে = ৯৮ – ১৮ = ৮০ লিটার

ব্যাখ্যা: ১ মিনিটে ওঠে ৮ ফুট, পরবর্তী ১ মিনিটে ৩ ফুট নেমে আসে। ২ মিনিটে ওঠে = (৮ – ৩) ফুট = ৫ ফুট; বাঁশের দৈর্ঘ্য = ২০ গজ বা ৬০ ফুট; বানরটি শেষ লাফে ৮ ফুট উঠে বাঁশের মাথায় উঠে পড়ায় আর নামবে না। বানরটি (৬০ – ৮) বা ৫৬ ফুট ওঠে = (২ × ৫৬) = ১১২ মিনিটে; বানরটি ৬০ ফুট ওঠে = ১১২ + ১ = ১১৩ মিনিটে।

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত অঙ্কটিতে ভুল আছে। এ ক্ষেত্রে u = 2î + ĵ = k̂ না হয়ে u = 2î + ĵ + k̂ হলে তার সমাধান হলো : u = 2î + ĵ + k̂, v = î – ĵ + 2k̂; এখানে, u·v = 2.1 – 1.1 + 2.1 = 2 – 1 + 2 = 3; u = |u| = √(2² + 1² + 1²) = √6; v = |v| = √(1² + (–1)² + 2²) = √6; আমরা জানি, u·v = u v cosθ; বা, cosθ = (u·v)/(uv) = 3/(√6.√6) = 3/6 = 1/2; ∴ cosθ = cos60°; ∴ θ = 60°

ব্যাখ্যা: মনে করি, দৈর্ঘ্য = x মিটার, প্রস্থ = y মিটার; প্রথম শর্তমতে, (x – 5)(y + 3) = xy – 9 বা, xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9 বা, 3x – 5y = 6 ........... (i); দ্বিতীয় শর্তমতে, (x + 3)(y + 2) = xy + 67 বা, xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67 বা, 2x + 3y = 61 ......... (ii); {(i) × 3} + {(ii) × 5} থেকে পাই, 9x – 15y = 18; 10x + 15y = 305; 19x = 323 বা, x = 323/19 = 17; ∴ x = 17; (ii) নং থেকে, 3y = 61 – 2x = 61 – 2 × 17 = 61 – 34 = 27; ∴ y = 27/3 = 9; ∴ দৈর্ঘ্য 17 মিটার ও প্রস্থ 9 মিটার

ব্যাখ্যা: পরিসীমা, 2s = a + b + c = 30 সেমি; যেখানে, a = উচ্চতা, b = ভূমি; অতিভুজ, c = 13 সেমি; ∴ a + b + c = 30; বা, a + b = 30 – 13 = 17 ......... (i); আবার, a² + b² = c² [∵ সমকোণী ত্রিভুজ]; বা, a² + b² = (13)² = 169; বা, (a + b)² – 2ab = 169; বা, 17² – 2ab = 169; বা, 2ab = 289 – 169; বা, ab = 120/2 = 60; বা, b = 60/a ........ (ii); সমীকরণ (ii)-এর মান (i)-এ বসিয়ে পাই, a + 60/a = 17; বা, (a² + 60)/a = 17; বা, a² – 17a + 60 = 0; বা, a² – 12a – 5a + 60 = 0; বা, a(a – 12) – 5(a – 12) = 0; বা, (a – 12)(a – 5) = 0; বা, a = 12, 5; এখন, a = 12 হলে, b = 17 – a = 17 – 12 = 5 অথবা, a = 5 হলে b = 17 – 5 = 12; সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা = 1/2 × 5 × 12 = 30 বর্গ সেমি [ভূমি b = 5; উচ্চতা a = 12]; আবার, ক্ষেত্রফল = 1/2 × 12 × 5 [ভূমি, b = 12; উচ্চতা, a = 5] = 30 বর্গ সেমি; ভূমি ও উচ্চতার উভয় মানের ক্ষেত্রেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সেমি।

ব্যাখ্যা: এখানে, BC = 12 কিমি, AB = 5 কিমি [চিত্র]; পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে, AC² = AB² + BC² = 5² + (12)² = 25 + 144 = 169; ∴ AC = √169 = 13 কিমি; অর্থাৎ সে A থেকে 13 কিমি দূরে আছে।